Un approccio tipo punto fisso per problemi asintotici

Abstract:

Nel  seminario  verrà  presentato  un  risultato  di  punto  fisso,  basato  sulla  linearizzazione di Schauder nello spazio di Frechét di tutte le successioni, che può essere applicato alla risoluzione di problemi al contorno su intervalli non compatti associati ad equazioni alle differenze, vedi [1]. Tale risultato si basa su uno analogo valido nel caso continuo, ma tiene in considerazione alcune peculiarità  del  caso  discreto  ed  estende  [2,  4].   Come  applicazione  si  considera il problema dell’esistenza delle cosiddette soluzioni intermedie per una equazione alle differenze half-linear con argomento deviante

∆(a_n|∆_Xn|^α sgn ∆x_n) + b_n|x_n+q|^α sgn x_n+q = 0,

dove ∆ è l’operatore alle differenze (in avanti) ∆_Un = u_n+1 - u_n, a =  {a_n } , b = {b_n } sono successioni reali positive, , α > 0 and q ∈ N.  In particolare si analizzano gli effetti dell’argomento deviante sulla esistenza di soluzioni nonoscillanti illimitate, mediante un confronto con l’equazione half-linear

∆(a_n|∆y_n|^α sgn ∆y_n) + b_n|y_n+1|^α sgn y_n+1 = 0.

Come conseguenza otteniamo condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di soluzioni intermedie dell’equazione con argomento deviante (i.e., soluzioni eventualmente positive x t.c. lim_n x_n = + ∞  , lim_n a_n ∆x_nI ^α = 0), generalizzando alcuni risultati in [3].

References
[1]    Z. Doˇsl´a, M. Marini, S. Matucci, A fixed-point approach for decaying solutions of difference equations, Phil. Trans. R. Soc. A 379 (2019), Art. Id 20190374, 13 pp.

[2]    Z.  Doˇsl´a,  M.  Marini,  S.  Matucci,  Decaying  solutions  for  discrete  boundary value problems on the half line, J. Difference Equ. Appl. 22 (2016), 1244– 1260.

[3]    M.  Cecchi,  Z.  Doˇsl´a,  M.  Marini,  On  the  growth  of  nonoscillatory  solutions for difference equations with deviating argument, Adv. Difference Equ. 2008, Art. ID 505324, 15 pp.
[4]    M.  Marini,  S.  Matucci,  P.  Rˇeh`ak,  Boundary  value  problems  for  functional difference equations on infinite intervals, Adv. Difference Equ. 2006, Art. 31283, 14 pp.