Distribuzione gaussiana dei numeri primi | Wikimedia Commons

Formazione

I NUMERI PRIMI E LA LORO DISTRIBUZIONE

Da Euclide a Riemann, viaggio tra alcune delle teorie più affascinanti della matematica

7 febbraio 2018
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Massimiliano Sala
Federico Pintore
di Massimiliano Sala e Federico Pintore
Rispettivamente professore e assegnista di ricerca del Dipartimento di Matematica dell'Università di Trento.

I numeri primi hanno da sempre destato la curiosità scientifica di matematici di ogni tempo e di ogni disciplina, talvolta travalicando, col loro fascino, i confini ristretti del mondo accademico per attirare l’interesse di semplici curiosi e appassionati. Ad ennesima dimostrazione di ciò, l’aula gremita, di matematici e non, che ha seguito l’affascinante storia dei numeri primi ripercorsa all’interno di un magistrale seminario tenuto dal professor Alessandro Zaccagnini dell’Università di Parma.

L’attenzione sui numeri primi si è dapprima concentrata sull’interrogativo se essi fossero o meno infiniti, per poi virare sulla comprensione di come si distribuiscano all’interno dei numeri naturali. Risale addirittura al III secolo a.C. e al greco Euclide la prima dimostrazione che esistono infiniti numeri primi. Facendo un salto di quasi venti secoli, si arriva al matematico svizzero Eulero, che diede una dimostrazione alternativa di tale risultato utilizzando per la prima volta concetti provenienti dall'analisi matematica infinitesimale. Fu poi il grande matematico tedesco Gauss ad intuire la chiave per comprendere i numeri primi: la loro densità, ossia quanti sono i numeri primi più piccoli di un numero naturale N arbitrariamente grande. Basandosi sui suoi calcoli, Gauss formulò una prima approssimazione della densità dei numeri primi, senza arrivare a una dimostrazione compiuta. 

In seguito, Dirichlet fu il primo ad introdurre nella Teoria dei Numeri - che è la scienza che studia i numeri e, di conseguenza, anche i numeri primi - l’analisi infinitesimale nel campo dei numeri complessi, che si rivelerà uno strumento decisivo per gli studi successivi. Nel XIX secolo, il celebre e poliedrico matematico Riemann, nel suo unico breve articolo sulla Teoria dei Numeri, indicò la strada che portò, sul finire del secolo, alla dimostrazione dell’esattezza dell’approssimazione di Gauss sulla densità dei numeri primi. Tale risultato, che oggi prende il nome di “Teorema dei Numeri Primi”, fu dimostrato indipendentemente, e quasi in contemporanea, da Hadamard e de la Vallée Poussin, e successivamente esteso da Vinogradov e Korobov. 

Nel superbo articolo di Riemann sopra menzionato, vide la luce la famosa Congettura di Riemann, la quale riguarda la distribuzione degli zeri di una particolare funzione complessa, detta ormai “zeta di Riemann”, la quale ha un collegamento molto stretto con la distribuzione dei numeri primi. In particolare, la distribuzione dei suoi zeri è legata alla possibilità di contare in modo accurato i numeri primi. La Congettura di Riemann può essere descritta geometricamente dicendo che gli zeri della funzione zeta di Riemann si trovano confinati su due rette nel piano complesso. 

Tutti gli zeri della funzione zeta che si sono fin qui riusciti a calcolare, si trovano dove pronosticato dalla congettura. Tuttavia, nonostante i numerosi tentativi fatti da eminenti matematici, la Congettura di Riemann rimane elusiva. Quasi nessuno crede nella falsità della congettura, ma essa non può al momento essere esclusa

Il 24 gennaio 2018 si è tenuto presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Trento il seminario “I numeri primi e la loro distribuzione". Relatore: Alessandro Zaccagnini dell’Università di Parma. Nei suoi studi il professor Zaccagnini si è occupato anche della funzione "zeta di Riemann" e della Congettura di Riemann, uno dei 7 Millennium Problems per cui il Clay Mathematics Institute ha istituito 7 milioni di dollari di premio per le relative soluzioni.