Orientarsi nello spazio, percepire un oggetto attraverso la sua forma, minimizzare gli spostamenti: sono abilità geometriche che tutti usiamo nel quotidiano. Platone faceva entrare nell’Accademia solo chi aveva dimestichezza con la geometria, una scienza che richiama questioni filosofiche ma che dà anche concreta risposta a tanti quesiti tecnologici. Dalla linea retta agli spazi che si curvano, i teoremi della geometria ci aiutano da sempre a rendere facile il difficile. Ma in che modo la mente umana esplora la forma delle cose? Un viaggio che da Euclide e dalla geometria elementare giunge a Bernhard Riemann e alle teorie contemporanee, che forniscono alla fisica gli strumenti per capire l’universo e tentare di formulare una «Teoria del Tutto».
Marco Andreatta è professore ordinario e direttore presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Trento.
Dal capitolo 1
La genesi, la geometria greca (pag.11-15)
Da dove cominciare dunque per parlare di teorie geometriche? Egizi e Babilonesi usavano concetti geometrici non rudimentali. Nella tavoletta d’argilla del periodo paleo-babilonese 1800-1600 a.C. (fig.1.1) ad esempio vediamo raffigurato un quadrato di lato 30 e le sue diagonali.
In scrittura cuneiforme e col sistema sessagesimale si possono leggere i numeri 1,414213 e 42,42639, ottime approssimazioni di √2 e di 30∙√2. Sono la misura delle diagonali del quadrato di lato uno e del quadrato di lato 30; lo si vede con un calcolo che necessita della conoscenza del Teorema di Pitagora, almeno in qualche forma particolare.I primi a sviluppare in modo organico la Geometria sono i filosofi greci; sono loro che elaborano un pensiero matematico deducendolo da risultati stabiliti in precedenza, risalendo a pochi principi fondativi, in qualche modo evidenti, chiamati assiomi o postulati. Talete di Mileto (625-547 a.C.) è in questo senso forse la figura più emblematica, costantemente alla ricerca di un principio primo da cui partire. Nei manuali di Filosofia leggiamo che pose l’acqua come elemento primo da cui tutto prende vita. In quelli di Geometria si dice che abbia preso come punto di partenza il concetto di retta, su cui per altro si fonda il suo famoso teorema sulla conservazione del rapporto dei segmenti tagliati su una retta qualsiasi da due rette parallele fissate.
Hegel afferma che il suo pensiero segna l'inizio della filosofia, perché in essa si manifesta la coscienza che l'essenza, la verità, ciò che solo è in sé e per sé, è una sola cosa. Si manifesta il distacco dal dato della percezione sensibile; l'uomo si ritrae da ciò che è immediatamente.
Per questo, come riporta Platone con ironia, si attira i rimproveri di una serva trace, che lo vede cadere in un pozzo mentre osserva, naso verso il cielo, gli astri: conosce quel che succede nel cielo senza preoccuparsi di quel che avviene davanti e sotto i piedi.
Talete, assieme a Democrito e Platone, sono certamente i primi pensatori che potremmo definire idealisti, che pongono alla base del loro pensare il mondo delle idee, dalla parola greca ιδέα, che significa schema o figura geometrica. Con loro nasce il dualismo tra empirismo e idealismo che dà origine ad accesi dibattiti su quale sia la natura della conoscenza; in molti si sono posti e si pongono questa domanda anche per la Geometria. Certamente la geometria poggia sull’esperienza dell’uomo che si muove nello spazio, nasce quindi come scienza sperimentale; i risultati raggiunti hanno poi innumerevoli applicazioni tecnologiche di natura pratica. Nel mezzo può capitare, come a Talete secondo Hegel, di manifestare distacco dal dato della percezione sensibile, ritrarsi da ciò che è immediatamente; ma questo o quell’ atteggiamento dipende molto dalla formazione culturale e dalla sensibilità del singolo individuo.
Sin dalle origini un approccio troppo idealista alla Geometria ha avuto molti critici: ad esempio sofisti e empiristi, appoggiati anche da Aristotele, contestavano come privi di significato concetti primitivi quali la linea senza spessore, la tangente in un solo punto e non in un tratto. Sesto Empirico (II secolo), della corrente degli Scettici, rigettò addirittura la disciplina in toto in un libro dal titolo “Adversus Geometras”.
In generale la tendenza ideale ad una forte astrazione di concetti e metodi ha portato pensatori della comunità allargata dei filosofi a non apprezzare, e magari a non comprendere, la portata delle scoperte della Geometria. Per questo il suo inquadramento come sistema filosofico ha sempre avuto fasi controverse e contrapposte, alle quali accenneremo nel seguito.
Un convinto sostenitore della Geometria e del suo modo di argomentare fu sicuramente Platone, vissuto prevalentemente ad Atene nel periodo 427-347 a.C.
Si racconta che sulla porta di ingresso dell’Accademia egli fece scrivere la frase seguente: αγεωμετρητος μηδεις εισιτω, che si traduce in non entri chi non conosce la geometria. Qui si applica il gioco linguistico, permesso dalla lingua greca, di far precedere la lettera alpha ad una parola, facendole con questo acquisire un significato di privazione o negazione: senza Geometria non si accede alla conoscenza.
Questa frase ha avuto grande influenza sulla cultura moderna, da Nicolò Copernico che la usò come motto nel frontespizio del De rivolutionibus orbium caelestium all’ American Mathematical Society che l‘ha posta nel suo logo (fig. 1.2).
Oggi ha validità forse maggiore e ancor più la si apprezza, a mio avviso, affiancandola all’osservazione contenuta nel titolo del famoso libro del fisico Eugene P. Wigner: L’irragionevole efficacia della matematica (dunque anche della Geometria) nelle scienze naturali.
Non vi è disciplina scientifica contemporanea che può prescindere dalla Geometria. I risultati della fisica dell’universo così come della fisica delle particelle, ad esempio, si formulano attraverso complessi modelli geometrici. La biologia molecolare, e più in generale la scienza della vita, interpreta strutture come il DNA e il genoma nelle loro forme geometriche elicoidali. La comprensione della loro posizione spaziale permette di creare e controllare variazioni delle stesse che danno luogo a importanti applicazioni.Nell’affermare l’importanza della geometria in una buona educazione Platone sicuramente pensava anche ad attività non strettamente scientifiche. In particolare alla capacità innovativa e rivoluzionaria della geometria nel campo dell’arte, una costante nella storia. La prospettiva nel campo pittorico è una delle conquiste del Rinascimento italiano; oggi, assieme ad altre teorie geometriche come la topologia, rivoluziona il mondo dell’architettura; si pensi ad architetti come Renzo Piano o a Zaha Hadid, che hanno costruito alcuni edifici basandosi su teoremi di geometria.
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Per gentile concessione della casa editrice Il Mulino