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Oltre i limiti dell'intuizione

Di curvature, linguaggio nuovo e architetture. Conversazione sull’analisi geometrica con il matematico Alessandro Carlotto

30 gennaio 2024
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di Alessandra Saletti
Ufficio Stampa e Relazioni esterne

Come si insegna a fare una torta a chi non conosce la farina? Per un matematico spiegare che cosa è l’analisi geometrica, la questione della curvatura, il fascino degli oggetti geometrici, è un po’ come la massima di Einstein: dare senso a ciò che i più considerano difficile da afferrare, quasi un mistero, ma per chi se ne occupa ogni giorno è diventato un paesaggio quasi naturale, per nulla ostile. Una sfida che Alessandro Carlotto, ordinario di Analisi matematica e dal 2021 a capo del progetto europeo Erc Change accetta però di buon grado nel raccontare a UniTrentoMag cosa studia al Dipartimento di Matematica.

Tra i vari argomenti trattati in questo speciale dedicato alla Matematica in UniTrento, c’è spazio per una delle aree di ricerca attualmente più vive e promettenti della matematica contemporanea. L’analisi geometrica sembra aver trovato all’Università di Trento il posto ideale per fiorire, anche grazie al lavoro del gruppo di ricerca guidato da Alessandro Carlotto, vincitore di un Erc e di recente rientrato in Italia dopo aver trascorso sei anni come docente presso il Politecnico Federale di Zurigo (Eth).

Professor Carlotto, cosa le piace di questo settore della matematica?

«L’analisi geometrica è un settore relativamente giovane della matematica. Anche se le questioni da cui muove sono in molti casi ormai “classiche” e risalgono talvolta all’inizio del Novecento (o addirittura prima), è solo nella seconda metà degli anni Settanta che si sono compiuti progressi strutturali e si è osservato uno sviluppo scientifico organico. Grazie agli studi di vari grandi matematici tra cui i miei maestri Shing-Tung Yau e Richard Schoen si sono iniziate a risolvere molte grandi questioni che riguardano le forme della natura con i metodi dell’analisi matematica, specificamente studiando in profondità certe equazioni alle derivate parziali. È stata una stagione di grande progresso scientifico, e per certi versi di una nuova era della matematica.
Tutto parte da un’immagine geometrica, un problema astratto, un’intuizione spaziale che viene tradotta in un’equazione. La sfida è poi tornare al disegno di partenza, verificare l’intuizione originaria. Magari dopo un percorso lunghissimo e travagliato, che in pratica significa anche tanti conti sofisticati e non scontati. In questo senso, talvolta mi piace dire che l’analisi geometrica è l’ambito matematico che più di tutti si avvicina all’architettura. Perché il lavoro di concepire edifici e affinare le capacità tecniche per realizzarli assomiglia al lavoro del matematico che cerca una compiutezza estetica nel dare forma a uno schizzo, facendogli prendere vita. È l’esercizio di una intelligenza spaziale in cui creatività e tecnica sono allo stesso modo importanti».

Immaginazione e metodo: proprio come avviene nel processo di scrittura?

«In un certo senso sì, perché l’analisi geometrica può essere davvero considerata un linguaggio. Il suo successo negli ultimi decenni è dato proprio dal fatto che fornisce un lessico ed una grammatica che servono alla gran parte delle teorie fisiche e naturali. A tutto ciò che, a partire almeno dal 1915 con la teoria della relatività generale, ha a che fare con la curvatura, con la deformazione dello spaziotempo. Senza questo nuovo linguaggio non si sarebbe potuta costruire una teoria così raffinata dell’attrazione gravitazionale tra corpi. La geometria differenziale si è evoluta di pari passo con le teorie fondamentali, in un gioco di influenza reciproca. Una rivoluzione interna alla matematica, che ne ha accompagnato un’altra interna alla fisica. Ciò che indirizza i miei studi non è tanto chiedersi se una teoria – pensiamo appunto alla relatività generale – sia il modo giusto per descrivere la realtà. Ciò che invece mi affascina è il portare quella teoria alle estreme conseguenze e riuscire a immaginare e osservare le sue implicazioni».

Parliamo della curvatura…

«La curvatura è una delle parole chiave di questo gioco. Il guaio è che quando si studiano oggetti geometrici di dimensione arbitraria – ad esempio di dimensione sei – non vi è un concetto univoco di curvatura. Ve ne sono molti, tutti dotati a priori della stessa dignità, che contengono informazioni diverse circa gli oggetti in questione. Il gradino più accessibile è la dimensione uno, quando l’oggetto è una curva. Già i Greci avevano una nozione intuitiva di curvatura per le curve piane. Si passa poi alla dimensione due, quando l’oggetto riflette la nostra idea di superficie, pensiamo a un fazzoletto, o ad un foglio di carta. Su questo ha iniziato a ragionare la matematica dell’Ottocento. La dimensione tre è, almeno localmente, lo spazio in cui viviamo, lo spazio della nostra esperienza sensibile.
Ma poi? Come possiamo definire e magari classificare le varietà di dimensione quattro o successive? Dobbiamo sforzarci di sospendere l’intuizione per fare spazio alla logica. Per un matematico è un processo di astrazione naturalissimo. Ma quando gli oggetti hanno dimensione più alta diventano parecchio più misteriosi, e non solo perché non li vediamo. Ciò che rende entusiasmante studiare il mio ambito sono anche questi salti di complessità tra dimensioni».

Ma perché mai dovremmo andare oltre la dimensione tre? Può farci qualche esempio?

«Pensiamo a un aereo, uno comune, stilizzato. La sua configurazione si descrive prendendo tre coordinate che identificano la posizione del baricentro, il centro di massa. Però in effetti questi dati non bastano: ci servono anche tre angoli che descrivono l’inclinazione del velivolo. Quindi la posizione di un aereo in cielo è identificata da sei numeri, o meglio sei coordinate. Un oggetto geometrico di dimensione sei. Senza queste informazioni aggiuntive, un pilota sarebbe spacciato.
Oppure immaginiamo un cubo che al suo interno contiene un gas con un certo numero di particelle. Ogni particella di questo gas confinato ha una sua configurazione specifica, che possiamo descrivere con tre coordinate. Ma se abbiamo un miliardo di particelle, lo stato microscopico del gas sarà descritto in ogni istante da tre miliardi di coordinate. E questo solo rispetto alle posizioni, senza occuparci delle velocità, cosa che raddoppierebbe il numero di parametri in gioco.
Se poi vogliamo descrivere l’evoluzione temporale di un sistema, anche di una sola particella, dobbiamo per lo meno anche introdurre una variabile tempo, una coordinata in più e subito usciamo dal mondo intuitivo delle nostre tre dimensioni. Del resto, la distinzione che facciamo tra spazio e tempo è assolutamente fittizia, non è fondata da un punto di vista fisico e sconta semmai i limiti della nostra mente e della nostra percezione sensoriale.
Quindi potremmo dire, in estrema sintesi, che non c’è proprio speranza di comprendere la realtà che ci circonda lavorando con curve e superfici, ma bisogna sviluppare un linguaggio e un apparato teorico che consenta di investigare, almeno potenzialmente, oggetti di qualunque dimensione».

Quindi è un modo di tentare di superare i limiti della nostra immaginazione?

«Sì, partiamo dalla nostra immaginazione per spingerci molto oltre, o almeno questo è ciò a cui aspiriamo. Pensiamo alla classificazione delle varietà con curvatura scalare positiva: oggi magari non capiamo dove scoperte come questa potrebbero portarci in futuro. Però abbiamo la ragionevole fiducia che, così come è avvenuto in passato, quello che studiamo porterà ad un avanzamento della conoscenza nel senso più ampio possibile. Del resto alla base della tecnologia che oggi ci permette di fare una Tac stanno idee e metodi – l’analisi armonica e la ‘trasformata di Radon’ – che hanno a che fare con l’elaborazione dei segnali come sovrapposizione di onde».

E quali sono le prossime sfide scientifiche a cui lavorate?

«La lista dei problemi aperti dell’analisi geometrica è enorme, ma mi concentrerei qui su una direzione di ricerca particolarmente importante. Negli ultimi vent’anni abbiamo capito molte cose della dimensione tre. Abbiamo classificato le varietà di dimensione tre che supportano metriche a curvatura scalare positiva. Un grande obiettivo sarebbe capire le stesse cose, ma in una dimensione in più, svelando almeno in piccola parte i misteri della quarta dimensione. Paradossalmente, rispetto a questa domanda, dalla quinta dimensione in su sappiamo molte più cose. La quarta invece si presenta molto elusiva, perché, semplificando molto, non funzionano né le tecniche di dimensione bassa né quelle di dimensione alta. Abbiamo altri strumenti sofisticati (ad esempio la teoria di Seiberg-Witten) ma le informazioni che al momento riusciamo ad estrarre sembrano molto parziali».

Lei ha deciso di dedicare la sua carriera a questi interrogativi e, portandosi dietro un prestigioso Erc, trasferirsi all’Università di Trento. Come mai proprio qui?

«Qui all’Università di Trento ho trovato una grande unità d’intenti e una apertura rispetto a questa area scientifica. E questo è un punto di partenza per nulla scontato. Mi ha convinto la volontà di creare a Trento un hub scientifico per l’analisi geometrica, primo e unico in Italia. La scommessa di provare a concentrare le energie su un settore non tradizionale della matematica italiana. Ho trascorso buona parte della mia carriera negli Stati Uniti, dove queste tematiche sono molto più studiate. Qui in Italia è più difficile creare massa critica, fondare una scuola. Tante sono le esperienze singole anche in altri atenei, alla Normale, alla Sissa di Trieste, all’Università di Pisa: per fortuna cerchiamo di fare squadra anche su scala nazionale. Ma a Trento ho visto la volontà di provarci davvero in modo strutturale, passo dopo passo, partendo dal reclutamento di giovani di talento. Chi sceglie di studiare questo ambito della matematica a Trento ha a disposizione già un'ottima offerta di corsi avanzati, assieme a borse di studio di alta formazione in analisi geometrica e percorsi solidi di avviamento alla ricerca. Un’offerta didattica e formativa molto originale nel panorama italiano ed europeo, nella quale crediamo fermamente».