Raccontava il poeta Virgilio nell’Eneide [V, libro I, versi 335-368] che Didone, regina di Tiro, avesse ricevuto dal re Iarba presso cui era rifugiata, una pelle di toro, che poteva usare per delimitare il territorio su cui poter fondare la sua città. Secondo la leggenda, questa città sarebbe poi diventata Cartagine. Volendo cercare di ottenere il massimo appezzamento possibile, Didone pare quindi sia stata la prima persona a dover fronteggiare un tipo di problema che avrebbe appassionato generazioni e generazioni di matematici: il problema isoperimetrico.
Si tratta di capire qual è la figura che a parità di perimetro contiene la massima superficie. È facile intuire che la soluzione è il cerchio, quindi cosa ci sarebbe di tanto appassionante? Cerco di spiegarlo in breve. Innanzitutto, dimostrare rigorosamente che questa è la soluzione è tutt'altro che semplice; per farlo è stato necessario introdurre idee e creare strumenti matematici su misura per questo problema. Il primo approccio che ha permesso di arrivare a una soluzione soddisfacente del problema risale all'800, e prende il nome di "simmetrizzazione di Steiner", dal nome del geometra (nel senso di studioso di geometria) svizzero che l'ha introdotta.
Per i matematici però, niente è più vero del detto secondo cui “chiusa una porta si spalanca un portone!” Infatti, aver risolto questo problema ha fatto nascere una miriade di domande, più o meno legate al problema originale. Molto semplice la seguente: se invece di considerare curve su di un piano consideriamo curve appartenenti a superfici curve, come ad esempio una sfera? Come sarebbero fatte le curve di data lunghezza che racchiudono la massima area? Ecco che subito ci si accorge che gli strumenti esistenti, come la simmetrizzazione di Steiner, nulla possono in questo contesto curvo, e per rispondere, anche solo molto parzialmente, a questa semplice domanda sono necessarie idee profondamente nuove. D'altra parte però, che importanza ha - si potrebbe dire - questa questione?
Didone è morta e sepolta da un po', e se proprio ci si dovesse trovare a risolvere un problema simile probabilmente una semplice simulazione al PC darebbe un'approssimazione soddisfacente della soluzione. Tuttavia, la Matematica, che sempre si è generata e che si genera motivata da problemi come questo, è talmente ricca da dare risposte anche in ambiti apparentemente lontani, che nessuno inizialmente si sarebbe sognato di affiancare al problema isoperimetrico, addirittura andando a scomodare i buchi neri!
Si è trattato di un percorso sorprendente e molto tortuoso, di cui cercherò di illustrarvi due tappe particolarmente affascinanti, almeno per me. Dopo i primi anni Duemila (millenni dopo l'enunciato del problema), è stato proposto un nuovo metodo per la risoluzione del problema isoperimetrico nello spazio, sfruttando le tecniche moderne dei "flussi per curvatura". In poche parole, si tratta di studiare proprietà geometriche di curve o superfici deformandole appropriatamente, e cercando di tener traccia di cosa è successo durante la loro evoluzione .
Questa tecnica, a differenza di tutte quelle note fino ad allora, può essere applicata anche nel caso in cui lo spazio ambiente non sia quello "piatto" in cui siamo abituati a vivere, ma quello che, secondo le leggi della Relatività Generale, viene curvato dalla gravità generata da enormi masse, come quella di una stella o di un buco nero. Cosa si è scoperto quindi? Non solo che, in questi spazi curvi, la soluzione del problema isoperimetrico non è una palla (l'ovvia generalizzazione del cerchio), ma anche che il discostamento di questa soluzione dall'essere una palla permette di calcolare la massa presente nella regione di universo che si sta osservando.
Un'applicazione del tutto inimmaginabile, se ci si fosse accontentati di sapere che il cerchio era la soluzione del problema di Didone, se non si avesse avuto la semplice curiosità di capirci qualcosa di più, se non si avesse voluto provare il gusto di attaccare problemi via via sempre più difficili.
Problemi di questo tipo, spesso dalle radici antiche, ma arrivati a sfide completamente nuove, forniscono un esempio di ricerca matematica contemporanea. Io personalmente mi occupo proprio di problemi geometrici legati a questo che vi ho appena descritto, in spazi più o meno curvi, sotto la guida del professor Lorenzo Mazzieri, il mio supervisore di dottorato. Gli strumenti di cui facciamo uso sono equazioni differenziali, cioè equazioni che coinvolgono funzioni e loro derivate. I "flussi per curvatura" non sono altro che equazioni di questo tipo, oltretutto particolarmente indomabili. Si tratta di concetti legati a quel ramo della Matematica chiamata Analisi Matematica, qui però studiati in relazione a problemi geometrici, da cui il nome di Analisi Geometrica.